已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,且a^2=2b（1）求椭圆的方程（2）是否存在实数M,使得直线l：x-y+m=0与椭圆交于A、B两点且线段AB中点在圆x^2+y^2=5上,求m的值

Question

已知椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号2/2,且a^2=2b
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在实数M,使得直线l：x-y+m=0与椭圆交于A、B两点且线段AB中点在圆x^2+y^2=5上,求m的值

Answer 1

1、
e=√2/2,则：a²=2c²,b²=c²
则：a²=2b²
又已知a²=2b,所以：2b²=2b
得：b=1,则：a²=2
所以,椭圆方程为：y²/2+x²=1
2、
设AB中点为M(x,y),由点差法的结论：K(AB)*K(OM)=-a²/b²=-2
而K(AB)=1,所以：K(OM)=-2,即：y/x=-2
则：y=-2x,
y=-2x
x²+y²=5
联列方程组,得：5x²=5
x1=-1,y1=2；x2=1,y2=-2
所以,M1(-1,2),M2(1,-2)
（1）把M1(-1,2)代入直线x-y+m=0,得：m=3,此时直线方程为：x-y+3=0；
x-y+3=0,y²/2+x²=1
联列方程组,消去x,得：3y²/2-6y+8=0
3y²-12y+16=0
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