已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1，x2．那么：（1）若x1＜2＜x2＜4，f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1；（2）若|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范围．

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1 （a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x₁，x₂．那么：
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，f（x）的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞-1；
（2）若|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设g（x）=f（x）-x，则
g（x）=ax²+（b-1）x+1，
∴

x1+x2＝−(b−1)/(a)

x1•x2＝(1)/(a)＞0

，
∵x₁＜2＜x₂＜4，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，即x₁x₂＜2（x₁+x₂）-4；
∴x₀=-(b)/(2a)
=(1)/(2)(−(b−1)/(a)−(1)/(a))
=(1)/(2)(x1+x2)−(1)/(2)x₁x₂＞(1)/(2)(x1+x2)-（x₁+x₂）+2，
即(1)/(2)(x1+x2)+2＞−(1)/(2)×（2+4）+2，
∴x₀＞-1；

（2）由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可知
x₁•x₂=(1)/(a)＞0，
∴x₁•x₂同号；
若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2，
∴x₂=x₁+2＞2g（2）=4a+2b-1＜0              ①
又∵|x₁-x₂|²
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=((b−1)2)/(a2)−(4)/(a)
=2，
∴2a+1=√((b−1)2+1)，将其代入①，得
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