已知函数f（x）=x−2ax+1(a＞1，x∈R，x≠−1a)；（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；（2）若函数F（x）=ax+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负

Question

已知函数f（x）=(x−2)/(ax+1)(a＞1，x∈R，x≠−(1)/(a))；
（1）试问：该函数的图象上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由；
（2）若函数F（x）=a^x+f（x），试问：方程F（x）=0有没有负根，请说明理由．
（3）记G（x）=|a^x-b|-b•a^x，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范围．

Answer 1

（1）令f（x₁）=f（x₂）
(x1−2)/(ax1+1)=(x2−2)/(ax2+1)
化简得：（2a+1）（x₁-x₂）=0
因为a＞1．所以等式成立的唯一条件是：x₁=x₂．
∴函数的图象上不存在不同的两点，它们的函数值相同
（2）F（x）=a^x+f（x）=a^x(x−2)/(ax+1)
a＞1，所以a^x在区间（-∞，0]上为增函数，而f（x）在区间（-∞，0]上也是增函数．
根据函数单调性的性质：在同一单调区间内增函数+增函数，还是增函数．
可得函数F（x）=a^x+f（x）在区间（-∞，0]上为增函数
又因为F（0）=-1
所以当x＜0时，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0没有负根
（3）a^x＞0，
如果b＜0，则：g（x）=（1-b）a^x-b，为单调递增函数，无最小值．
如果b≥0，则：
当a^x＞b时，g（x）=（1-b）a^x-b，
当a^x＜b时，g（x）=-（1+b）a^x+b，
因为在两个开区间内，g（x）都是单调函数．
所以，要取得最小值的条件是，g（x）在（-∞，b]为减函数，在[b，+∞）为增函数．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1