如图所示，在倾角为37度的斜面上有无限长的两条平行光滑金属导轨，导轨间距0.5m，导轨的上端接有阻值为R=0.8Ω的电阻和一电容为C=0.5F的电容器，磁感强度B=2T的匀强磁场，方向垂直于导轨

Question

如图所示，在倾角为37度的斜面上有无限长的两条平行光滑金属导轨，导轨间距0.5m，导轨的上端接有阻值为R=0.8Ω的电阻和一电容为C=0.5F的电容器，磁感强度B=2T的匀强磁场，方向垂直于导轨平面向上，一质量为m=0.5kg，电阻r=0.2Ω的金属杆垂直导轨放置，开始时断开开关S，将杆由静止自由释放．（Sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）

（1）求金属杆下滑的最大速度？
（2）若杆由静止下滑到速度最大的这段时间内通过杆的电荷量为2C，则在这段时间内电阻R上产生的热量？
（3）若在由静止释放杆的同时闭合开关，经过一段时间杆达到最大速度，这一过程中通过R的电荷量为5.76C，则这段时间为多少？

Answer 1

（1）设杆匀速运动时的速度为v，取杆为研究对象，则有：
E=BLv…①
I=(E)/(R+r)…②
F_安=BIL…③
由平衡条件得：
mgsinθ-F_安=0…④
由①②③④带入数据解得：v=3m/s
（2）设这段时间内，沿导轨方向导体棒移动的距离为x，则有：

.

E

=(△Φ)/(△t)=(BLx)/(△t)

.

I

1=(.E)/(R+r)=(BLx)/((R+r)△t)
q₁=

.

I

₁△t=(BLx)/(R+r)
所以：x=(q1(R+r))/(BL)=2m
设电路中产生的总热量为Q，由能量守恒定律得：
mgxsinθ=Q+(1)/(2)mv²
电阻R上产生的热量Q_R=(R)/(R+r)Q
解得：Q=3.75J、Q_R=3J
（3）开关闭合后杆的最大速度不变，即杆到达最大速度后感应电动势E不变，设这一过程所需时间为t，平均电流为

.

I

，流过杆的总电荷量为Q，由动量定理得：
mgtsinθ-B

.

I

Lt=mv
Q=

.

I

t
Q=q+UC
解得：mgtsinθ=BLQ+mv
代入数据得：t=2.82s
答：（1）求金属杆下滑的最大速度为3m/s
（2）电阻R上产生的热量为3J
（3）这段时间为2.82s