设A是正交矩阵,特征值是1,-1,对应的特征向量是a,b,求a,b是否相关；a,b是否正交

Question

设A是正交矩阵,特征值是1,-1,对应的特征向量是a,b,求a,b是否相关；a,b是否正交

Answer 1

由已知,Aa=a,Ab=-b.
再由A是正交矩阵,所以 A'A=E.
所以有
(a,b)
= -(a,-b)
= -(Aa,Ab)
= -(Aa)'(Ab)
= -a'A'Ab
= -a'b
= -(a,b)
所以 2(a,b)=0.故 (a,b)=0,即a,b 正交.
进而a,b 线性无关.[正交向量组必线性无关].