如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l．水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A

Question

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l．水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2√(3)m/s，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度．
（3）调节PQ段的长度l，A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当l满足什么条件时，A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

Answer 1

（1）物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v₀=2√(3)m/s，
与弹簧接触瞬间，−μmgl＝(1)/(2)m

v

2 1

−(1)/(2)m

v

2 0

，
可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小v1＝2√(2)m/s；
（2）A被弹簧以原速率v₁弹回，向右经过PQ段，
有

v

2 2

−

v

2 1

＝−2μgl；解得A速度 v₂=2m/s，
A滑上圆形轨道，有−mgh＝0−(1)/(2)m

v

2 2

，
（也可以应用 −μ×mgl−mgh＝(1)/(2)m

v

2 2

−(1)/(2)m

v

2 1

）
可得，返回到右边轨道的高度为h=0.2m=R，符合实际．
（3）物块A以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧，
有v

′

2 1

−

v

2 0

＝−2μg×2l，
可得，A回到右侧速度：v

′

2 1

＝(12−8l)(m/s)2，
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足：0＜h≤R，
根据机械能守恒：(1)/(2)mv

′

2 1

＝mgh联立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：(1)/(2)mv

′

2 1

＝mg×2R+(1)/(2)mv

′

2 2

且m(v′22)/(R)≥mg，
联立得 l≤0.25m，综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，
l满足的条件是1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m；
答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2√(2)m/s．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度0.2m．
（3）A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道的条件是：1.0m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．