求一个极限原题是这样的设随机变量X服从几何分布,其分布律是p{x=k}=p(1-p)^(k-1)其中0

Question

求一个极限
原题是这样的
设随机变量X服从几何分布,其分布律是
p{x=k}=p(1-p)^(k-1) 其中0

第一问我求出来了,现在第二问不知道怎么求,我把问题简化了下,变成求1+4(1-p)+9(1-p)^2+16(1-p)^3+.k^2(1-p)^(k-1) k=1,2,3...（前面还应该乘个P,为了简化我就不写了）
不知道想法对不对,如果对的,请高手帮我解一下,如果不对,请告诉我该怎么做,谢谢!

Answer 1

Eξ=1/p,Dξ=(1-p)/p^2
Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2
E(ξ^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+……+k^2*q^(k-1)*p+……
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……)
对于上式括号中的式子,利用导数,关于q求导：k^2*q^(k-1)=(k*q^k)',并用倍差法求和,有
1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……
=(q+2*q^2+3*q^3+……+k*q^k+……)'
=[q/(1-q)^2]'
=[(1-q^2)+2(1-q)q]/(1-q)^4
=(1-q^2)/(1-q)^4
=(1+q)/(1-q)^3
=(2-p)/p^3
因此E(ξ^2)=p[(2-p)/p^3]=(2-p)/p^2
则Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2=（2-p)/p^2-(1/p)^2=(1-p)/p^2