甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为12、23；（1）在前3次投篮中

Question

甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮； 已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 (1)/(2) 、 (2)/(3) ；
（1）在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求Eξ；
（2）若第n次由甲投篮的概率为a _n ，求a _n 与a _n-1 的关系式，并求

lim

n→∞

a n ．

Answer 1

（1）由题意，ξ的取值为0，1，2，则 P(ξ=0)=(1)/(2) ×(1)/(2) =(1)/(4) ，P(ξ=1)=(1)/(2) ×(1)/(2) +(1)/(2) ×(1)/(3) =(5)/(12) ，P(ξ=2)=(1)/(2) ×(2)/(3) =(1)/(3)
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	(1)/(4)	(5)/(12)	(1)/(3)

∴ Eξ=0×(1)/(4) +1×(5)/(12) +2×(1)/(3) =(13)/(12)
（2）由已知可得 a n = a n-1 •(1)/(2) +(1- a n-1 )•(1)/(3) (n∈ N * ，n≥2)
∴ a n =(1)/(6) a n-1 +(1)/(3) ，
∴

lim

n→∞

a n =

lim

n→∞

((1)/(6) a n-1 +(1)/(3) ) = (1)/(6)

lim

n→∞

a n +(1)/(3)
∴

lim

n→∞

a n =(2)/(5)