某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=x+24（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+1P）万元（不含促销费用），产品的

Question

某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=(x+2)/(4)（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+(1)/(P)）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+(20)/(p)）元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，y=（4+(20)/(p)）p-x-6（p+(1)/(p)），
将p=(x+2)/(4)代入化简得：y=19-(24)/(x+2)-(3)/(2)x（0≤x≤a）；
（Ⅱ）y=22-(3)/(2)（(16)/(x+2)+x+2）≤22-3√((16)/(x+2)×(x+2))=10，
当且仅当(16)/(x+2)=x+2，即x=2时，上式取等号；
当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；
y=19-(24)/(x+2)-(3)/(2)x，y′=(24)/((x+2)2)-(3)/(2)，
∴a<2时，函数在[0，a]上单调递增，
∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．