注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中,其速率为4立方米每分,当水深为5m时,其表面的上升速率为多少?我的理解是:V=∏*R^2*h/3当水深为5m时,顶面直径为5m,V=∏*(5/2)^2*h/3,两边同时对时间t求导dV/

Question

注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中,其速率为4立方米每分,当水深为5m时,其表面的上升速率为多少?
我的理解是:V=∏*R^2*h/3 当水深为5m时,顶面直径为5m,V=∏*(5/2)^2*h/3,两边同时对时间t求导 dV/dt=[∏*(5/2)^2/3]*dh/dt 将 dV/dt=4m^3/min代入,得:dh/dt=48/25∏
正确答案是:16/25∏.请问我的错误在哪里?

Answer 1

从一开始的“深8m上顶直径8m的正圆锥形容器”可知,任何时刻的水深h与水面圆半径r是相等的,即r=h,所以经过时间t,设流量为q,有方程tq=V=π*r^2*h/3=π*h^3/3,所求上升速率dh/dt=q/(πh^2),把h=5代人,可得dh/dt=4/25π