如图所示，一足够大的倾角θ=30°的粗糙斜面上有一个粗细均匀的由同种材料制成的金属线框abcd，线框的质量m=0.6kg，其电阻值R=1.0Ω，ab边长L1=1m，bc边长L2=2m，与斜面之间的动摩擦因数μ=39．

Question

如图所示，一足够大的倾角θ=30°的粗糙斜面上有一个粗细均匀的由同种材料制成的金属线框abcd，线框的质量m=0.6kg，其电阻值R=1.0Ω，ab边长L₁=1m，bc边长L₂=2m，与斜面之间的动摩擦因数μ=(√(3))/(9)．斜面以EF为界，EF上侧有垂直于斜面向上的匀强磁场．一质量为M的物体用绝缘细线跨过光滑定滑轮与线框相连，连接线框的细线与斜面平行且线最初处于松弛状态．现先释放线框再释放物体，当cd边离开磁场时线框即以v=2m/s的速度匀速下滑，在ab边运动到EF位置时，细线恰好被拉直绷紧（时间极短），随即物体和线框一起匀速运动t=1s后开始做匀加速运动．取g=10m/s²，求：

（1）匀强磁场的磁感应强度B；
（2）细绳绷紧前，M下降的高度H；
（3）系统在线框cd边离开磁场至重新进入磁场过程中损失的机械能△E．

Answer 1

（1）线框cd边离开磁场后受到的安培力：F=BIL₁=(B2L21v)/(R)，
线框cd边离开磁场时匀速下滑，由平衡条件得：
mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得：B=1T；
（2）由题意，线框第二次匀速运动方向向上，设其速度为v₁，细线拉力为T，
则匀速运动的速度：v₁=(L2)/(t)=(2m)/(1s)=2m/s，
对线框，由平衡条件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-(B2L21v1)/(R)=0，
对物体，由平衡条件得：T-Mg=0，
设绳突然绷紧过程中绳子作用力冲量为I，由动量定理得：
对线框：I=mv₁-m（-v）  对物体：I=Mv₁-Mv₀，
绳绷紧前M自由下落：v₀²=2gH，解得：H=1.8m；
（3）根据能量守恒定律得：
线框匀速下滑过程：Q₁=mgL₂sinθ，
绳子突然绷紧过程：Q₂=(1)/(2)Mv₀²+(1)/(2)mv²-(1)/(2)（M+m）v₁²，
线框匀速上滑过程：Q₃=MgL₂-mgL₂sinθ，
损失的机械能：△E=Q₁+Q₂+Q₃，解得：△E=21.6J；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B为1T；
（2）细绳绷紧前，M下降的高度H为1.8m；
（3）系统在线框cd边离开磁场至重新进入磁场过程中损失的机械能△E为21.6J．