摩托快艇以速度Vo行驶,它受到的摩擦阻力与速度平方成正比,设比例系数为常量k,则可表示为F=-kv^2,设摩托快艇的质量为m,当摩托快艇发动机关闭后,求(1)速度v对时间的变化规律;(2)路程x对时间

Question

摩托快艇以速度Vo行驶,它受到的摩擦阻力与速度平方成正比,设比例系数为常量k,则可表示为F=-kv^2,设摩托快艇的质量为m,当摩托快艇发动机关闭后,求
(1)速度v对时间的变化规律;
(2)路程x对时间的变化规律;
(3)证明速度v与路程x之间有如下关系:v = Voe^(-k'x),式中的k'=k/m;
(4)如果Vo=20m/s,经15s后,速度降为Vt=10m/s,求k';

Answer 1

1) F=-kv^2 即m*dv/dt=-kv^2 => v=V0/(kt*V0/m+1)
2)由1 dx/dt=V0/(kt*V0/m+1) => x=m/k*ln(kt*V0/m+1)
3)由2 => kt*V0/m+1 = e^(k'x) 带入1） => v=V0*e^(-k'x)
4)由1) 10=20/(k'*15*20+1) => k'=1/300