如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，a

Question

如图所示，两根足够长、电阻不计、间距为d的光滑平行金属导轨，其所在平面与水平面夹角为θ，导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度大小b方向垂直于斜面向上，ab与cd之间相距为L ₀ 金属杆甲、乙的阻值相同，质量均为m，甲杆在磁场区域的上边界ab处，乙杆在甲杆上方与甲相距L处，甲、乙两杆都与导轨垂直。静止释放两杆的同时，在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F，使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动，加速度大小a=2gsinθ，甲离开磁场时撤去F，乙杆进入磁场后恰好做匀速运动，然后离开磁场。
(1)求每根金属杆的电阻R是多大？
(2)从释放金属杆开始计时，求外力F随时间t的变化关系式？并说明F的方向。
(3)若整个过程中，乙金属杆共产生热量Q，求外力F对甲金属杆做的功W是多少?

Answer 1

(1)设甲在磁场区域abcd内运动时间为t ₁ ，乙从开始运动到ab位置的时间为t ₂ ，则
，
，   
t ₁ ＜t ₂ ，即甲离开磁场时，乙还没有进入磁场
设乙进入磁场时的速度为v ₁ ，乙中的感应电动势为E ₁ ，回路中的电流为I ₁ ，则
    
E ₁ = Bdv ₁     
I ₁ =E ₁ /2R  
mgsinθ=BI ₁ d  
解得   
(2)从释放金属杆开始计时，设经过时间t，甲的速度为v，甲中的感应电动势为E，回路中的电流为I，外力为F，则
v=at    
E=Bdv
I=E/2R  
F+mgsinθ－BId=ma
a=2gsinθ
解得 （0≤t≤ ）
方向垂直于杆平行于导轨向下
(3)甲在磁场中运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v ₀ ，乙沿导轨运动的距离是x，甲、乙产生的热量相同，设分别为Q ₁ ，则
  
  
解得
乙在磁场中运动过程中，甲乙产生相同的热量，设分别为Q ₂ ，则2Q ₂ =mgLsinθ  
根据题意有Q=Q ₁ +Q ₂   
解得W=2Q