在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a正方形，SD⊥底面ABCD，且SD=a，SA=SC=2a．（1）在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径；（2）求四棱锥外接球的半径．

Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为a正方形，SD⊥底面ABCD，且SD=a，SA=SC=√(2)a．
（1）在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．

Answer 1

（1）由题意，求四棱锥的内切球的半径，设为r，则
由等体积可得，(1)/(3)×(1)/(2)×a×a×a=(1)/(3)×（a²+2×(1)/(2)×a×a+2×(1)/(2)×a×√(2)a）r，
∴r=(2-√(2))/(4)a；
（2）四棱锥补成长方体，其对角线长为√(3)a，∴四棱锥外接球的半径为(√(3))/(2)a．