设∑是椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1在第一象限内的部分，取上侧，椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1所围成的立体体积为V，则∬zdxdy=18V18V．

Question

设∑是椭球面(x2)/(a2)+(y2)/(b2)+(z2)/(c2)=1在第一象限内的部分，取上侧，椭球面(x2)/(a2)+(y2)/(b2)+(z2)/(c2)=1所围成的立体体积为V，则

∬

zdxdy=

(1)/(8)V

(1)/(8)V

．

Answer 1

设∑在XOY面的投影为D_xy，则D_xy={（x，y）|0≤x≤a，0≤y≤(b)/(a)√(a2−x2)}
令x=racosθ，y=rbsinθ，则D_xy=D_rθ={（r，θ）|0≤r≤1，0≤θ≤(π)/(2)}，z＝√(1−(x2)/(a2)−(y2)/(b2))=√(1−r2)，
J(r，θ)＝

.

(∂x)/(∂r)	(∂x)/(∂θ)
(∂y)/(∂r)	(∂y)/(∂θ)

.

＝

.

acosθ	−rasinθ
bsinθ	rbcosθ

.

＝abr
∴

∫∫

zdxdy＝

作业帮用户 2016-11-21 举报

问题解析

要计算对xoy的曲面积分，首先将椭球面在第一象限的部分投影到xoy面，然后将投影区域转化为极坐标的形式，将第二类曲面积分转化为极坐标系下的二重积分，计算即可．

名师点评

本题考点：

第二类曲面积分的计算．

考点点评：

此题考查了第二类曲面积分的计算方法，以及极坐标系下的二重积分的计算．要注意，并非所有的极坐标系下的转换方式都是x=rcosθ，y=rsinθ，此题由于是椭球体，因此转换的方式也不同．

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