（2014•杨浦区一模）如图所示，在平直等宽的公路上，车首与前车尾相距为a的车队，沿公路中轴线以相同的速度v缓慢前进．一名执勤交警想以恒定的最小速率从公路边沿直线穿越公路．若

Question

（2014•杨浦区一模）如图所示，在平直等宽的公路上，车首与前车尾相距为a的车队，沿公路中轴线以相同的速度v缓慢前进．一名执勤交警想以恒定的最小速率从公路边沿直线穿越公路．若汽车的宽度为b，车道宽度为c=1.8b．求：
（1）该交警的最小穿越速率．
（2）该交警以最小速率穿越公路所需要的时间．
（3）开始穿越时，交警与汽车的相对位置．

Answer 1

设交警的速度大小为V，与车子速度的夹角为θ，穿越车的时间为t．
（1）在穿越过程中必须满足：
  Vtcosθ+a=vt，
  Vtsinθ=b，
解得：
  V＝(bv)/(asinθ+bcosθ)＝(bv)/(Asin(θ+β))；
其中：
 A＝√(a2+b2)，sinβ＝(b)/(√(a2+b2))，cosβ＝(a)/(√(a2+b2))
当θ+β＝(π)/(2)，即sinθ＝(a)/(√(a2+b2))时，V取最小值：V＝(bv)/(√(a2+b2))，
解得：t＝(a2+b2)/(av)
（2）由于车道宽度为c=1.8b，穿越公路的时间：
T＝1.8t＝(1.8(a2+b2))/(av)．
（3）穿越开始交警位置在车后：L=0.4btanθ=0.4a．
答：（1）该交警的最小穿越速率V＝(bv)/(√(a2+b2))．
（2）该交警以最小速率穿越公路所需要的时间T＝(1.8(a2+b2))/(av)．
（3）开始穿越时，交警与汽车的相对位置为在车后0.4a．