如图，一次函数y=-23x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点C的坐标；（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．

Question

如图，一次函数y=-(2)/(3)x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）在x轴上求一点P，使它到B、C两点的距离之和最小．

Answer 1

（1）在一次函数y=-(2)/(3)x+2中，
令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3，
则B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）．   
如图，作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△ABO与△CAD中，

∠BAO＝∠ACD

∠BOA＝∠ADC＝90°

AB＝CA

，
∴△ABO≌△CAD（AAS），
∴OB=AD=2，OA=CD=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）． 
                   
（2）B关于x轴的对称点的坐标是B′（0，-2），
设直线B′C的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

5k+b＝3

b＝−2

，
解得：

k＝1

b＝−2

，
∴直线B′C的解析式是y=x-2．
令y=0，解得：x=2，
则P的坐标是：（2，0）．