在一条公路的一侧有某单位的A,B两个加工点,A到公路的距在一条公路的一侧有某单位的A,B两个加工点,A,到公路的距离AC为1km,B到公路的距离BD为1.5km,CD长为3km,该单位欲在公路旁边修建一个堆货

Question

在一条公路的一侧有某单位的A,B两个加工点,A到公路的距
在一条公路的一侧有某单位的A,B两个加工点,A,到公路的距离AC为1km,B到公路的距离BD为1.5km,CD长为3km,该单位欲在公路旁边修建一个堆货场M,并从A,B两个点修一条直线道路通往堆货场M,欲使A和B到M的道路总长最短,堆货场M应修在何处?
答案：离C1.2km 处. （求详解,用导数）

Answer 1

设：C、M之间的距离为X, 总距离为Y,Y = AM + MB
AM = √(1+X²), MB = √[1.5²+(3-X)²]
Y = √(1+X²) + √[1.5²+(3-X)²]
dY/dX = X/√(1+X²) - (3-X)/√[1.5²+(3-X)²]
令 dY/dX = 0, 得：
X/√(1+X²) = (3-X)/√[1.5²+(3-X)²]
即：(1+X²)/X² = [1.5²+(3-X)²]/(3-X)²
1/X² + 1 = 1.5²/(3-X)² + 1
1/X² = 1.5²/(3-X)²
(3-X)²= 1.5²X²
3-6X+X²= 2.25X²
1.25X²+6X-9=0
X₁= 1.2 (km), X₂= - 6 (km) (不合理,舍去)
d²Y/dX² = 1/√(1+X²)-X²/[√(1+X²)]³ +1/√[1.5²+(3-X)²]-(3-X)√[1.5²+(3-X)²]³
当 X = 1.2 (km)
d²Y/dX² = 1/√(1+1.2²)-1.2²/[√(1+1.2²)]³ +1/√[1.5²+(3-1.2)²]-(3-1.2)√[1.5²+(3-1.2)²]³= 0.4373 > 0
∴ 当 X = 1.2 km
Y最小 = √(1+1.2²) + √[1.5²+(3-1.2)²] = (√61)/2 = 3.905 (km)