刚学导数,想问一下关于极小的变化量ΔΧ的理解问题看书的时候发现,在求f（x）的导数时候,引入了一个极小的变化量ΔΧ,用[f(x+ΔΧ)-f(x)]÷ΔΧ,然后再将其式化简,再将ΔΧ处理为零我想问的是,①

Question

刚学导数,想问一下关于极小的变化量ΔΧ的理解问题
看书的时候发现,在求f（x）的导数时候,引入了一个极小的变化量ΔΧ,用[f(x+ΔΧ)-f(x)]÷ΔΧ,然后再将其式化简,再将ΔΧ处理为零
我想问的是,①是不是因为分母不能为零,所以要想办法将式子变形,使其在将ΔΧ变为零时,式子有意义,那么如果在将ΔΧ处理为零时,式子有意义时,那么求出的就是该函数的导数
②我还有一个猜想是因为由于分数式分子分母都有ΔΧ,对于两个极其微小的量分数式中的影响是巨大的,所以不能立刻处理为零,再看题目时发现式子处理最后结果只含有一个ΔΧ和只有x的式子,因此影响很微,忽略不计,如果我的这个猜想是正确的那么,是不是非要把式子化为最后结果只含有一个ΔΧ和只有x的式子才行,如果我化得的式子是一个分式,但分子分母同时含有ΔΧ,但将ΔΧ处理为零时,式子有意义,我还可不可以在这时将ΔΧ处理为零,并求出导数来
我是刚自学的,可能有些地方理解错了的,请指出来
一楼所说的两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则等.是的什么?

Answer 1

不知道你怎么理解“将ΔΧ处理为零”.
可能你觉得把ΔX=0代进式子就行了,
的确,在高中来说,这样也就足够了.
但是,事实上这个过程却不是如此,
这样处理其实会导致矛盾!
其实,我们是令ΔX趋于0,所以ΔX可
以做分母而式子有意义.
之所以要化简,只不过是使极限变得
直观,容易求出而已.
化简的原则是,不能是式子的本质发
生变化,如果不能保证,一定要外加
注明.
而你的猜想,一个是让无意义的式子
变得有意义,一个是让影响大的量的
影响变小,其实都是不对的.
自习导数是不应该看高中课本的.这
些书纯粹是应付考试,该讲的不讲,
让人理解困难.高中的所谓微积分入
门,其实就是背公式.