某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a（a＞0）元购买住房，年利率为r（r＞0），按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷，如果10年还清，每年应还款元．

Question

某人2011年初向银行申请个人住房公积金贷款a（a＞0）元购买住房，年利率为r（r＞0），按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷，如果10年还清，每年应还款______元．（用a，r表示）

Answer 1

设年还款额设为x，
则各年份所欠银行贷款为：
第一年：a元，
第二年：a（1+r）-x元，
第三年：[a（1+r）-x）（1+r）-x=a（1+r）²-x[1+（1+r）]，
第四年：{[a（1+r）-x]（1+r）-x}（1+r）-x=a（1+r）³-x[1+（1+r）+（1+r）²]，
…
由此可得第n年后所欠银行贷款为：
a（1+r）^n-1-x[1+（1+r）+（1+r）²+…+（1+r）^n-2]=a（1+r）^n-1-(x[(1+r)n−1−1])/(r)．
∵还款总期数为10，也即第10年刚好还完银行所有贷款，
∴第11年年所欠银行贷款为：
a(1+r) 10−(x[(1+r)10−1])/(r)＝0，
解得x=(ar(1+r)10)/((1+r)10−1)．
故答案为：(ar(1+r)10)/((1+r)10−1)．