如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为

Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此重复操作下去，得到线段OP₃，OP₄，…，则：
（1）点P₅的坐标为(−16

2

，−16

2

)(−16

2

，−16

2

)；
（2）落在x轴正半轴上的点P_n坐标是（2ⁿ，0）（2ⁿ，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．

Answer 1

（1）∵点P₀的坐标为（1，0），
而将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，
∴线段OP₁=2，
∴P₁的坐标为（

2

，

2

），
又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，
∴线段OP₂=4，
∴P₂的坐标为（0，4），
由此类推P₃的坐标为（-4

2

，4

2

），P₄的坐标为（16，0），P₅的坐标为（-16

2

，-16

2

）；

（2）∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，
∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，
并且每旋转一次OP扩大一倍，
∴OP_n=2ⁿ，
∴旋转到点P_n的坐标为（2ⁿ，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．