在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，3），N（0，-3），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．（1）求轨迹P的方程；（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l1：y=kx+b1与轨迹P相交

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知M（0，√(3)），N（0，-√(3)），平面上一动点P满足|PM|+|PN|=4，记点P的轨迹为P．
（1）求轨迹P的方程；
（2）设过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l₁：y=kx+b₁与轨迹P相交于A，B两点，若y轴上存在一点Q，使得直线QA，QB关于y轴对称，求出点Q的坐标；
（3）是否存在不过点E（0，1），且不垂直坐标轴的直线l，它与轨迹P及圆E：x²+（y-1）²=9从左到右依次交于C，D，F，G四点，且满足

.

ED

−

.

EC

＝

.

EG

−

.

EF

？若存在，求出当△OCG的面积S取得最小值时k²的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵|PM|+|PN|=4＞2√(3)，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点，
长轴长为4，焦距为2√(3)的椭圆，
即a=2，c=√(3)，∴b²=a²-c²=1，
∴轨迹P的方程为(y2)/(4)+x2＝1．
（2）设点Q（0，t），
∵过点E（0，1）且不垂直于坐标轴的直线l₁：y=kx+b₁与轨迹P相交于A，B两点，
∴b₁=1，∴直线l₁：y=k₁x+1，
由

(y2)/(4)+x2＝1

y＝k1x+1

，消去y，得（k 12+4）x²+2k₁x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（

x

2

，y₂），
则

△＝4k12+12(k12+4)＞0

x1+x2＝(−2k1)/(k12+4)

x1x2＝(−3)/(k12+4)

，
∴A（x₁，k₁x₁+1），B（x₂，k₁x₂+1），
∴kAQ＝(k1x1+1−t)/(x1)，kBQ＝(k1x2+1−t)/(x2)，
∵直线QA，QB关于y轴对称，∴kAQ+kBQ＝(k1x1+1−t)/(x1)+(k1x2+1−t)/(x2)=0，
∴2k₁x₁x₂+（1-t）（x₁+x₂）=0，
∴2k₁（-3）+（1-t）（-2k₁）=2k₁t-8k₁=2（t-4）k₁=0，
解得t=4，∴Q点坐标（0，4）．
（3）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=kx+b，且k≠0，
设线段DF的中点为H，
∵

ED

−

EC

=

EG

−

EF

，
∴

ED

+

EF

＝

EC

+

EG

＝2

EH

，
由

y＝kx+b

y2+4x2＝4

，消去y，得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
设D（x₃，y₃），F（x₄，y₄），
则

△＝16(k2−b2+4)＞0

x3+x4＝(−2kb)/(k2+4)

x3x4＝(b2−4)/(k2+4)

，
∴H（(−kb)/(k2+4)，(4b)/(k2+4)），
由kEH＝((4b)/(k2+4)−1)/((−kb)/(k2+4)−0)=-(1)/(k)，解得k²+4=3b，∴H（(−k)/(3)，(4)/(3)），
代入判别式，得0＜k²＜5，
∴存在这样的直线l符合题意，
|EH|=√(((−k)/(3)−0)2+((4)/(3)−1)2)=√((1)/(9)+(k2)/(9))，
由垂径定理，得|CG|=2√(9−|EH|2)=(2)/(3)√(80−k2)，
坐标原点O到直线l的距离d=(|b|)/(√(k2+1))=(k2+4)/(3√(k2+1))，
∴S=(1)/(2)|CG|•d=(1)/(2)×(2)/(3)√(80−k2)×(k2+4)/(3√(k2+1))
=(1)/(9)(k2+4)(√(80−k2))/(√(k2+1))，
∴S2＝(1)/(81)(k2+4)2•(80−k2)/(k2+1)，
令k²+1=r，r∈（1，6），
构造函数F(r)＝(1)/(81)(r+3)2((81−r))/(r)，r∈（1，6），
F′(r)＝(1)/(81)(r+3)((−2r2+81r−243))/(r2)，r∈（1，6），
令G（r）=-2r²+81r-243，r∈（1，6），
G（r）=-2r+81r-243=0，
∴r1＝(81−9√(57))/(4)，或r2＝(81+9√(57))/(4)（舍）
又∵7＜√(57)＜8，∴(9)/(4)＜r1＝(81−9√(57))/(4)＜(9)/(2)，
又当r∈（r₁，6）时，G（r）＞0，
∴F′（r）＞0，∴F（r）在（r1 ，6）上单调递增，
∴当k2+1＝(81−9√(57))/(4)，即k2＝(77−9√(57))/(4)时，
△OCG的面积S取得最小值．