如图，在平面直角坐标系中，函数y=x与反比例函数y=16x（x＞0）的图象相交于点P，以P为顶点作45°的角，角的两边分别交坐标轴于A，B，C，D．连结AB，CD．（1）求OP的长；（2）若点C（-6，0）

Question

如图，在平面直角坐标系中，函数y=x与反比例函数y=(16)/(x)（x＞0）的图象相交于点P，以P为顶点作45°的角，角的两边分别交坐标轴于A，B，C，D．连结AB，CD．
（1）求OP的长；
（2）若点C（-6，0），求D点的坐标；
（3）△OAB的周长是否变化？若不变化，试求出△OAB的周长；若变化，请说明理由；
（4）当OP⊥AB时：①求证：OP⊥CD；②求△OAB的面积．

Answer 1

（1）作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图，
解方程组

y＝x

y＝(16)/(x)

得

x＝4

y＝4

或

x＝−4

y＝−4

（x＞0，舍去），
∴P点坐标为（4，4），
∴OP=√(42+42)=4√(2)；

（2）设直线PC的解析式为y=kx+b，
把C（-6，0）和P（4，4）代入得

作业帮用户 2017-10-25 举报

问题解析

（1）先解有两个解析式组成的方程组确定P点坐标为（4，4），然后用勾股定理计算OP=4

√(2)；
（2）先利用待定系数法确定直线PC的解析式为y=(2)/(5)x+(12)/(5)，得到A点坐标为（0，(12)/(5)），则AF=OF-OA=(8)/(5)；再把△PAF绕点P逆时针旋转90°得到△PGE，
然后利用三角形全等证明AB=BG=AF+BE，设OB=t，则BE=4-t，AB=(8)/(5)+4-t=(28)/(5)-t，在Rt△OAB中利用勾股定理可计算得到OB=(16)/(7)；接着证明△DOB∽△DFP，
利用相似比可求得OD=(16)/(3)，于是得到D点坐标为（0，-(16)/(3)）；
（3）由（2）得到AB=BG=AF+BE，再根据三角形周长定义得到△OAB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=8；
（4）①OP⊥AB于H，由OP平分∠AOB得到OH垂直平分AB，则OA=OB，PA=PB，根据等腰三角形性质得OP平分∠APB，即∠APO=∠BPO，易∠POC=∠POD=135°，根据“ASA”可判断△POC≌△POD，则OC=OD，由于PO平分∠COD，根据等腰三角形三线合一即可得到PO⊥CD；
②由∠APO=∠BPO，∠APB=45°得到∠APO=∠BPO=22.5°，则∠HPB=∠BPE=22.5°，根据“AAS”可判断△BHP≌△BEP，则PH=PE=4，所以OH=4√(2)-4=4（√(2)-1），根据等腰直角三角形的性质得到AB=2OH=8（√(2)-1），然后根据三角形面积公式进行计算．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质以及正方形和等腰直角三角形的判定与性质；会运用全等三角形的判定与性质证明线段相等；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．

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