如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂

Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点
∴把（-1，0）B（3，0）代入抛物线得：a=-1，b=2，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得

3k+b＝0

k+b＝4

，
解得k=-2，b=6，
直线BD解析式为y=-2x+6，
S=(1)/(2)PE•OE，
S=(1)/(2)PE•OE=(1)/(2)xy=(1)/(2)x（-2x+6）=-x²+3x，
∵顶点D的坐标为（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3），
S=-（x²-3x+(9)/(4)）+(9)/(4)，
=-（x-(3)/(2)）²+(9)/(4)，
∴当x=(3)/(2)时，S取得最大值，最大值为(9)/(4)；

（3）当S取得最大值，x=(3)/(2)，y=3，
∴P（(3)/(2)，3），
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．
过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=(3)/(2)，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（(3)/(2)）²+（3-m）²=m²，
解得m=(15)/(8)，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=(9)/(10)，
由△EHP′∽△EP′M，
可得(EH)/(EP′)＝(EP′)/(EM)，
∴(EH)/((3)/(2))=((3)/(2))/((15)/(8))
解得：EH=(6)/(5)．
∴OH=3-(6)/(5)＝(9)/(5)．
∴P′坐标（-(9)/(10)，(9)/(5)）．
不在抛物线上．