现代物理经常用磁场来研究同位素粒子，在xoy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现有电荷量均为+q的a、b两粒子从坐标原点O以相同速率v同时射入磁场，a沿x轴正方向，b

Question

现代物理经常用磁场来研究同位素粒子，在xoy坐标系内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现有电荷量均为+q的a、b两粒子从坐标原点O以相同速率v同时射入磁场，a沿x轴正方向，b沿y轴正方向，a粒子质量为m，b粒子质量为2m，不计粒子重力以及粒子间相互作用，求：

（1）当a粒子第1次刚到达y轴时，b粒子到达的位置坐标；
（2）a、b粒子是否会再次相遇？如能，请通过推导求出何时相遇；如不能，请简要说明理由；
（3）设两粒子在y轴上投影的距离为△y，则△y何时有最大值并求出△y的最大值．

Answer 1

（1）由qvB=m(v2)/(r)可知：
a粒子半径r1=(mv)/(qB)，
周期：T1=(2πm)/(qB)，
b粒子半径r2=(2mv)/(qB)=2r1，
周期：T2=(2π•2m)/(qB)=2T1，
a粒子第1次刚到达y轴历时：△t=(T1)/(2)=(T2)/(4)
故此时b粒子运动(1)/(4)周，位置坐标为（-(2mv)/(qB)，(2mv)/(qB)）；
（2）由图可知：ab可能在O、P点再次相遇；
由于T₂=2T₁，
故a、b粒子经过t=T₂=(4πm)/(qB)在O点再次相遇，该过程粒子不可能在P点相遇，
所以a、b粒子在t=(4kπm)/(qB)（k=1、2、3…）时刻相遇；

（3）由第（1）问分析可知，当a粒子第二次到达其圆轨迹最高点时（即a粒子运动了(3)/(2)T1），b粒子恰好在其圆轨迹的最低点，此时两粒子在y轴上投影的距离△y最大．
考虑圆周运动的周期性，此后a粒子每运动两周，b粒子运动一周，两粒子在y轴上投影的距离△y再次最大．
所以t=(3)/(2)T1+n•2T1=((4n+3)πm)/(qB)时△y最大，故：
△ymax=4r1=(2mv)/(qB)；
答：（1）当a粒子第1次刚到达y轴时，b粒子到达的位置坐标为（-(2mv)/(qB)，(2mv)/(qB)）；
（2）a、b粒子在t=(4kπm)/(qB)（k=1、2、3…）时刻会再次相遇；
（3）设两粒子在y轴上投影的距离为△y，则在t=((4n+3)πm)/(qB)时有最大值，△y的最大值为(2mv)/(qB)．