如图，四边形ABCD为边长等于4的菱形，∠ABC=60°，点M为边AD上一点，点N为边DC上一点，且AM=DN．（1）AM=DN=3时，求△BMN的面积；（2）是否存在一点M和点N，使△BMN的面积等于532？若存在，请指

Question

如图，四边形ABCD为边长等于4的菱形，∠ABC=60°，点M为边AD上一点，点N为边DC上一点，且AM=DN．
（1）AM=DN=3时，求△BMN的面积；
（2）是否存在一点M和点N，使△BMN的面积等于(5√(3))/(2)？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点B作BE⊥DA，交DA延长线于点E，过点N作NF⊥BC，交BC的延长线于点F，延长FN交AD于点G，
∵∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=30°，∠FCN=60°，
又∵四边形ABCD为边长等于4，
∴AE=2，BE=2√(3)，
∵AM=DN=3，
∴CN=CD-DN=1，
∴CF=(1)/(2)，NF=(√(3))/(2)，
∴GN=GF-NF=BE-NF=(3√(3))/(2)，
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN=4×2√(3)-(1)/(2)×3×2√(3)-(1)/(2)×1×(3√(3))/(2)-(1)/(2)×4×(√(3))/(2)=(13√(3))/(4)；

（2）存在一点M和点N，使△BMN的面积等于(5√(3))/(2)．
设AM=DN=x，则DM=4-x，CN=4-x，
在Rt△CNF中，∠CNF=30°，
∴NF=(√(3))/(2)（4-x），
∴GN=2√(3)-(√(3))/(2)（4-x），
∴S_△BMN=S_菱形ABCD-S_△ABM-S_△MDN-S_△BCN
=4×2√(3)-(1)/(2)×x×2√(3)-(1)/(2)×（4-x）×[2√(3)-(√(3))/(2)（4-x）]-(1)/(2)×4×(√(3))/(2)（4-x）
=-(√(3))/(4)x²-√(3)x+4√(3)
=-(√(3))/(4)（x-2）²+5√(3)，
∴当x=2时，△BMN的面积最大，最大值为5√(3)．
此时M、N分别在AD、CD的中点处．