如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S△AOE=163，

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求OA、OB的长．
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且S_△AOE=(16)/(3)，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似．
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）方程x²-7x+12=0，
分解因式得：（x-3）（x-4）=0，
可得：x-3=0，x-4=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3；
（2）根据题意，设E（x，0），则S_△AOE=(1)/(2)×OA×x=(1)/(2)×4x=(16)/(3)，
解得：x=(8)/(3)，
∴E（(8)/(3)，0）或（-(8)/(3)，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4），
设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，
则①

(8)/(3)k+b＝0

6k+b＝4

，
解得：

k＝(6)/(5)

b＝−(16)/(5)

，
∴解析式为y=(6)/(5)x-(16)/(5)；
②

作业帮用户 2016-12-06 举报

问题解析

（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

此题考查了解一元二次方程，相似三角形的性质与判定，待定系数法求函数解析式，综合性较强，（3）求点F要根据AC与AF是邻边与对角线的情况进行讨论，不要漏解．

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