28.等边三角形ABC中,点E为直线AC上一点,在射线BE上取一点D,使角ADE=60度.（1）如图1,当点E在射线AC上时,求证：AD+CD=BD.（2）当点E在射线CA的延长线时,试猜想线段AD,CD,BD有怎样的关系,并证明

Question

28.等边三角形ABC中,点E为直线AC上一点,在射线BE上取一点D,使角ADE=60度.（1）如
图1,当点E在射线AC上时,求证：AD+CD=BD.（2）当点E在射线CA的延长线时,试猜想线段AD,CD,BD有怎样的关系,并证明

Answer 1

证明：
（1）在DB上取一点F,使DF=DA,
又∵∠ADE=60度,
∴⊿ADF为等边三角形
在⊿ADC和⊿ABF中
AB=AC（等边三角形ABC）
AF=AD（等边三角形ADF）
∠BAF=∠CAD=60度-∠EAF
∴⊿ADC≌⊿ABF
∴BF=CD
∵BD=BF+FD
FD=DA
BF=CD
∴BD=CD+AD
（2）当点E在射线CA的延长线时,AD+BD=CD
证明：在BD的延长线上取一点P,使DP=AD
又∵∠ADE=60度,
∴⊿ADP为等边三角形
在⊿ADC和⊿APB中
AC=AB（等边三角形ABC）
AD=AP（等边三角形ADP）
∠BAP=∠CAD=60度+∠DAB
∴⊿ADC≌⊿APB
∴BP=CD
∵BP=BD+DP
∴CD=BD+DP
又 DP=AD
∴CD=BD+AD