图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{an}的前四项，依此着色方案继续对三角形着色．（1）数列{an}的通项公式an=；（2）若数列{bn}

Question

图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列{a_n}的前四项，依此着色方案继续对三角形着色．

（1）数列{a_n}的通项公式a_n=______；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（(2)/(3)）ⁿ•a_n+1，记M=C

0

20

+C

1

20

+C

2

20

•b₁+C

3

20

•b₂+…+C

20

20

•b₁₉，则M的个位数字是______．

Answer 1

（1）由图形得：
第2个图形中有3个三角形，
第3个图形中有3×3个三角形，
第4个图形中有3×9个三角形，
以此类推：第n个图形中有3^n-1个三角形．
故答案为：a_n=3^n-1，
（2）b_n=（(2)/(3)）ⁿ•a_n+1=（(2)/(3)）ⁿ•3ⁿ=2ⁿ．
∴C

0

20

+C

1

20

+C

2

20

•2+C

3

20

•2²+…+C

20

20

•2¹⁹=(1)/(2)（2C

0

20

+C

1

20

•2+C

2

20

•2²+C

3

20

•2³+…+C

20

20

•2²⁰）=(1)/(2)[1+（1+2）²⁰]=(1)/(2)×（1+3²⁰），
∵(1)/(2)×（1+3）=2，(1)/(2)×（1+3²）=5，(1)/(2)×（1+3³）=14，(1)/(2)×（1+3⁴）=41，(1)/(2)×（1+3⁵）=122，
∴个数数字是2，5，4，1，四个一个周期，
∵20÷4-5，
∴(1)/(2)×（1+3²⁰）的个数数字为1．
故答案为．（1）3^n-1（2）1