如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M

Question

如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？

Answer 1

（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2） ∵Rt△ABM∽Rt△MCN，BM=x，
∴AB：MC=BM：CN，即(4)/(4-x)=(x)/(CN)，
整理得：CN=(-x2+4x)/(4)，
∴y=S_梯形ABCN=(1)/(2)×（(-x2+4x)/(4)+4）×4=-(1)/(2)x²+2x+8=-(1)/(2)（x-2）²+10（0<x<4），
则当x=2，即M点运动到BC的中点时，梯形ABCN的面积最大，最大值为10；
（3）当点M运动到BC中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，理由如下：
∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有(AB)/(AM)=(BM)/(MN)，即BM=(AB•MN)/(AM)，
由（1）知(AM)/(MN)=(AB)/(MC)，即MC=(AB•MN)/(AM)，
∴BM=MC，
则当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN．