等腰三角形周长为2L,它的腰多长其面积为最大?

Question

等腰三角形周长为2L,它的腰多长其面积为最大?

Answer 1

周长相等的三角形中,正三角形的面积最大.所以,题中：腰长=底边长=2L/3时,面积最大.
设等腰三角形的底边长为2A,由于周长是2L,那么腰长(2L-2A)/2=L-A
所以三角形的高是：√[(L-A)²-A²]=√(L²-2LA)
三角形面积是：S=(1/2)×2A×√(L²-2LA)=A×√(L²-2LA)
那么：S²/L=LA²-2A³
显然,若S最大,那么S²/L也最大,反之亦然.
那么对于关于A的三次函数f(A)=LA²-2A³
求导：f'(A)=2LA-6A²
当f'(A)=0时,f(A)有极值,此极值既是最大值
此时,2LA-6A²=0,考虑到A≠0,有A=L/3
即当A=L/3时,f(A)=LA²-2A³最大,也就是S最大
A=L/3,可得腰长L-A=2L/3