如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（m，0），D（0，n），m是最接近65的整数，n是16的算术平方根，若将△ABC沿矩形对角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相

Question

如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（m，0），D（0，n），m是最接近√(65)的整数，n是16的算术平方根，若将△ABC沿矩形对角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相交于点M．

（1）求AC的长；
（2）求△AMC的面积；
（3）求点E的坐标．

Answer 1

（1）∵m是最接近√(65)的整数，
∴m=8，
∵n是16的算术平方根，
∴n=4，
∴B（8，0），D（0，4），
∵点C矩形ABCD的一个顶点，
∴C（8，4），
∴AB=8，BC=4，
∴AC=√(AB2+BC2)=4√(5)，
（2）由折叠有，CE=AD=BC=4，AE=AB=8，
设DM=x则CM=8-x，
∵∠ADM=∠CEM，∠AMD=∠CME，
∴△ADM≌△CEM，
∴AM=CM=8-x，ME=MD，
在Rt△ADM中，AD=4，DM=x，AM=8-x，
根据勾股定理有：AD²+DM²=AM²，
即：16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴DM=3，CM=5，
∴S_△AMC=(1)/(2)CM×AD=(1)/(2)×5×4=10，
（3）过点E作EF⊥CD，如图，

由（2）有，CM=5，CE=4，ME=DM=3
在Rt△CEM中，由射影定理得，CE²=CF×CM，
∴16=CF×5，
∴CF=(16)/(5)，
∵ME×CE=CM×EF（直角三角形的面积的两种计算），
∴EF=(ME×CE)/(CM)=(12)/(5)，
∴DF=CD-CF=(24)/(5)，BC+EF=(32)/(5)，
∴E（(24)/(5)，(32)/(5)）