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某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段,选手猜出歌曲名称可以赢取奖金.曲库中歌曲足够多,不重复抽取.比赛共分7关:前4关播放常见歌曲;第5,6关播放常见或罕见歌曲,
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某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段,选手猜出歌曲名称可以赢取奖金.曲库中歌曲足够多,不重复抽取.比赛共分7关:前4关播放常见歌曲;第5,6关播放常见或罕见歌曲,曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1:4;第7关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关(最后一关除外)之后可以自主决定退出比赛或继续闯关;若退出比赛,则可获得已经通过关卡对应奖金之和;若继续闯关但闯关失败,则不获得任何奖金.
(Ⅰ)选手甲准备参赛,在家进行自我测试:50首常见歌曲,甲能猜对40首;40首罕见歌曲,甲只能猜对2首,以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率.
①若比赛中,甲已顺利通过前5关,求他闯过第6关的概率是多少?
②在比赛前,甲计划若能通过第1,2,3关的任意一关,则继续;若能通过第4关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的数学期望;
(Ⅱ)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p,且他已经顺利通过前6关,当p满足什么条件时,他选择继续闯第7关更有利?
关卡 | 关卡奖金/元 | 累计奖金/元 |
1 | 1000 | 1000 |
2 | 2000 | 3000 |
3 | 3000 | 6000 |
4 | 4000 | 10000 |
5 | 8000 | 18000 |
6 | 12000 | 30000 |
7 | 20000 | 50000 |
①若比赛中,甲已顺利通过前5关,求他闯过第6关的概率是多少?
②在比赛前,甲计划若能通过第1,2,3关的任意一关,则继续;若能通过第4关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的数学期望;
(Ⅱ)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p,且他已经顺利通过前6关,当p满足什么条件时,他选择继续闯第7关更有利?
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)①比赛中,甲已顺利通过前5关,他闯过第6关的概率是
•
+
•
=
;
②设甲获得奖金为X元,则P(X=0)=1-(
)4,P(X=10000)=(
)4,
∴EX=0×[1-(
)4]+10000×(
)4=4096;
(Ⅱ)他已经顺利通过前6关,可获奖金30000元,
设他选择继续闯第7关,可获奖金Y元,则P(Y=0)=1-p,P(Y=50000)=p,
∴EY=50000p,
令50000p>30000,则p>
,
即p>
时,选择继续闯第7关更有利.
1 |
5 |
40 |
50 |
4 |
5 |
2 |
40 |
1 |
5 |
②设甲获得奖金为X元,则P(X=0)=1-(
4 |
5 |
4 |
5 |
∴EX=0×[1-(
4 |
5 |
4 |
5 |
(Ⅱ)他已经顺利通过前6关,可获奖金30000元,
设他选择继续闯第7关,可获奖金Y元,则P(Y=0)=1-p,P(Y=50000)=p,
∴EY=50000p,
令50000p>30000,则p>
3 |
5 |
即p>
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5 |
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