(2014•宁德模拟)已知数列{an}满足a1=t>1,an+1=n+1nan.函数f(x)=ln(1+x)+mx2-x(m∈[0,12]).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)试讨论函数f(x)的单调性;(Ⅲ)若m=12,数列{bn}满足bn=
(2014•宁德模拟)已知数列{an}满足a1=t>1,an+1=an.函数f(x)=ln(1+x)+mx2-x(m∈[0,]).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)试讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若m=,数列{bn}满足bn=f(an)+an,求证:<<1.
答案和解析
(I)∵a
n+1=
an,
∴当n≥2时,=,
∴•…=•…,即=n,
∴an=nt,对n=1也成立,
∴数列{an}的通项公式为an=nt.…(3分)
(II)∵f(x)=ln(1+x)+mx2-x,
∴f′(x)=+2mx−1==(x>-1),…(4分)
当m=0时,f′(x)=,当-1<x<0时,f′(x)=>0;
当x>0时,f′(x)=<0,
∴函数f(x)的单调增区间是(-1,0),减区间是(0,+∞);…(5分)
当0<m≤时,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=−=-1+.
当0<m<时,x2>0,当-<x<0时,f′(x)>0;当0<x<−1+时,f′(x)<0;
x>−1+时,f′(x)>0,
∴函数f(x)的单调增区间是(-1,0)和(−1+,+∞),减区间是(0,−1+);…(6分)
当m=
作业帮用户
2017-10-10
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- 问题解析
- (Ⅰ)将递推公式化为=,利用累积法求出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)由求导公式函数f(x)的导数,化简后对m进行分类讨论,并根据导数的符号分别求出函数的单调区间;(Ⅲ)根据前两问的结论,求出bn和函数f(x)的范围,并进行转化为新的不等式问题,再构造新的函数,利用导数判断其单调性,求出函数的最小值,从而证明不等式成立.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 数列与函数的综合;利用导数研究函数的单调性.
-
- 考点点评:
- 本题考查递推数列、函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.
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