（2014•宁德模拟）已知数列{an}满足a1=t＞1，an+1=n+1nan．函数f（x）=ln（1+x）+mx2-x（m∈[0，12]）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若m=12，数列{bn}满足bn=

Question

（2014•宁德模拟）已知数列{a_n}满足a₁=t＞1，a_n+1=(n+1)/(n)a_n．函数f（x）=ln（1+x）+mx²-x（m∈[0，(1)/(2)]）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若m=(1)/(2)，数列{b_n}满足b_n=f（a_n）+a_n，求证：(2)/(an+2)＜(an)/(bn)＜1．

Answer 1

（I）∵a_n+1=(n+1)/(n)a_n，
∴当n≥2时，(an)/(an−1)＝(n)/(n−1)，
∴(a2)/(a1)•(a3)/(a2)…(an)/(an−1)＝(2)/(1)•(3)/(2)…(n)/(n−1)，即(an)/(a1)＝n，
∴a_n=nt，对n=1也成立，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=nt．…（3分）
（II）∵f（x）=ln（1+x）+mx²-x，
∴f′(x)＝(1)/(1+x)+2mx−1=(2mx2+2mx−x)/(1+x)=(x(2mx+2m−1))/(1+x)（x＞-1），…（4分）
当m=0时，f′(x)＝(−x)/(1+x)，当-1＜x＜0时，f′(x)＝(−x)/(1+x)＞0；
当x＞0时，f′(x)＝(−x)/(1+x)＜0，
∴函数f（x）的单调增区间是（-1，0），减区间是（0，+∞）；…（5分）
当0＜m≤(1)/(2)时，令f′（x）=0，解得x₁=0，x2＝−(2m−1)/(2m)=-1+(1)/(2m)．
当0＜m＜(1)/(2)时，x₂＞0，当-＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜−1+(1)/(2m)时，f′（x）＜0；
x＞−1+(1)/(2m)时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调增区间是（-1，0）和（−1+(1)/(2m)，+∞），减区间是（0，−1+(1)/(2m)）；…（6分）
当m=

作业帮用户 2017-10-10 举报

问题解析

（Ⅰ）将递推公式化为

(an)/(an−1)＝(n)/(n−1)，利用累积法求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由求导公式函数f（x）的导数，化简后对m进行分类讨论，并根据导数的符号分别求出函数的单调区间；（Ⅲ）根据前两问的结论，求出b_n和函数f（x）的范围，并进行转化为新的不等式问题，再构造新的函数，利用导数判断其单调性，求出函数的最小值，从而证明不等式成立．

名师点评

本题考点：

数列与函数的综合；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

本题考查递推数列、函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．

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