已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足下列条件：①过点（0，9）；②方程f（-x）=f（x）的解为-3，0，3；③在x=-1处取得极大值323．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的单调性并求出单

Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足下列条件：
①过点（0，9）；②方程f（-x）=f（x）的解为-3，0，3；③在x=-1处取得极大值(32)/(3)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性并求出单调区间；
（3）设函数f（x）在区间[t，t+1]（t≤-1）上的最小值为g（t），求g（t）的解析式．

Answer 1

（1）①∵过点（0，9）∴d=9；
②∵f（-x）=f（x）得x（ax²+c）=0，∵-3，0，3是方程的解，∴有9a+c=0，
③f′（x）=3ax²+2bx+c，∵f（x）在x=-1处取得极大值(32)/(3)，
∴

3a−2b+c＝0

−a+b−c+9＝(32)/(3)

，
由①②③解得：a=(1)/(3)，b=-1，c=-3，d=9，
∴f（x）=(1)/(3)x3−x2−3x+9；
（2）f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上单调递增，
当-1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-1，3）上单调递减；
（3）由（2）得：f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，
当-(3)/(2)≤t＜1时，g（t）=f（x）_min=f（t+1）=(1)/(3)t³-4t+(16)/(3)，
当t＜-(3)/(2)时，g（t）=f（x）_min=f（t）=(1)/(3)t³-t²-3t+9，
∴g（t）=

(1)/(3)t3−4t+(16)/(3)，(−(3)/(2)≤t＜−1)

(1)/(3)t3−t2−3t+9，(t＜−(3)/(2))

．