如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，延长BC至点E，以D为圆心，DE为半径作圆弧EF，使点A在DF上，连接AE、BF．（1）试猜想线段AE和BF的数量关系，并写出你的结论；

Question

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，延长BC至点E，以D为圆心，DE为半径作圆弧EF，使点A在DF上，连接AE、BF．

（1）试猜想线段AE和BF的数量关系，并写出你的结论；
（2）将扇形DEF绕点D按逆时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°且小于180°），DF、DE分别交AB、AC于点P、Q．如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，请连接EF、PQ，求证：EF∥PQ且AE⊥BF．

Answer 1

（1）AE=BF，
证明：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴AD=BD=DC，
在△BDF与△ADE中

BD＝AD

∠BDF＝∠ADE＝90°

DF＝DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（2）成立；
证明：如图2，∵∠ADF=∠CDE，AD⊥BC，
∠BDF=∠ADE，
由（1）可知AD=BD，
在△BDF与△ADE中

BD＝AD

∠BDF＝∠ADE

DF＝DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（3）如图2，连接PQ，、EF，延长EA交BF于G，交DF于H，由（2）可知△BDF≌△ADE，
∴∠BFD=∠AED，
∵∠FHG=∠EHD，
∴∠BFD+∠FHG=∠AED+∠EHD，
∵∠AED+∠EHD=90°，
∴∠BFD+∠FHG=90°，
∴∠FGE=90°，
即AE⊥BF．
∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴A、P、D、Q四点共圆，
∴∠DPQ=∠DAQ=45°，
∵DF=DE，∠EDF=90°，
∴∠EFD=45°，
∴∠EFD=∠QPD=45°，
∴EF∥PQ．