如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN=12CE；（2）如图，将△ADE绕点A逆时针旋转一个锐角后，（1）中结论是否仍成

Question

如图，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN=(1)/(2)CE；
（2）如图，将△ADE绕点A逆时针旋转一个锐角后，（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；
（3）求证：MN⊥CE．

Answer 1

（1）证明：延长DN交AC于F，连BF，

∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，
∴DE∥AC，
∴∠DEN=∠FCN，
在△DEN和△FCN中，

∠DNE=∠FNC

EN=NC

∠DEN=∠FCN

，
∴△DEN≌△FCN（ASA），
∴DE=FC，DN=NF，
∴AE=FC，
∵M是BD中点，
∴MN是△BDF的中位线，
∴MN=(1)/(2)BF，
∵∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，

AC=BC

∠EAC=∠FCB=90°

AE=FC

，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴BF=CE，
∴MN=(1)/(2)CE；
（2）证明：延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，

∵M为BD中点，
∴MN是△BDG的中位线，
∴BG=2MN，
在△EDN和△CGN中，

DN=NG

∠DNE=∠GNC

EN=NC

，
∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+∠DAB+45°=90°+∠DAB，
∴∠EAK=90°-∠DAB，
∴∠CKE=∠KCG=∠DAB，
∴∠BCG=90°+∠DAB，
在△CAE和△BCG中，

AC=BC

∠CAE=∠BCG

AE=CG

，
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．
（3）∵△CAE≌△BCG，
∴∠ACE=∠CBG，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
即BG⊥CE，
∵MN∥BG，
∴MN⊥CE．