设A=（aij）n×n为实矩阵，已知aii>0（i=1，2…n），aij<0（i，j=1，2…n；i≠j）且nj=1aij=0（i=1，2…n）．求证：（1）r（A）=n-1；（2）r（A*）=1．

Question

设A=（a_ij）_n×n为实矩阵，已知a_ii>0（i=1，2…n），a_ij<0（i，j=1，2…n；i≠j）且

n

j=1

a_ij=0（i=1，2…n）．求证：
（1）r（A）=n-1；
（2）r（A^*）=1．

Answer 1

证明：（1）设AX=0，则X=（1，1，…，1）^T是AX=0的一组非零解，故r（A）≤n-1．
设B是A的左上n-1阶子矩阵，则r（A）≥r（B）=n-1，
下面证明B可逆，就能完成证明．
实际上，B是所谓严格对角占优阵，满足|a_ii|=∑_{1≤j≤n，j≠i}|a_ij|>∑_{1≤j≤n-1，j≠i}|a_ij|．
严格对角占优阵总是可逆的：
假设BX=0有非零解X=(x1，x2，…，xn-1)T．
设|x_k|=max|x₁|，|x₂|，…，|x_n-1|>0，
则由∑_1≤j≤n-1a_kjx_j=0有：
|a_kk|•|x_k|=|∑_{1≤j≤n-1，j≠i}a_kjx_j|≤∑_{1≤j≤n-1，j≠i}|akj|•|x_j|≤∑_{1≤j≤n-1，j≠i}|a_kj|•|x_k|=|x_k|•∑_{1≤j≤n-1，j≠i}|a_kj|<|x_k|•|a_kk|，矛盾．
因此BX=0只有零解，B可逆．
故r（A）=n-1；
（2）由于r（A）=n-1，因此AA^*=|A|E=0
从而A^*的列向量是AX=0的解，
又AX=0的基础解系所含解向量的个数为n-r（A）=1
而A^*≠0
因此r（A^*）=1．