杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多他编著的数学书共5种21卷在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究

Question

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多 他编著的数学书共5种21卷 在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果 它的许多性质与组合数的性质有关 杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外 许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过 并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:

试回答:(其中第(1)&(5)小题只需直接给出最后的结果 无需求解过程)

(1)记第 i ( i ∈N*)行中从左到右的第 j ( j ∈N*)个数为 a _ij 则数列{ a _ij }的通项公式为          

n 阶杨辉三角中共有            个数;

(2)第 k 行各数的和是;

(3) n 阶杨辉三角的所有数的和是;

(4)将第 n 行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;

(5)第 p ( p ∈N* 且 p ≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被 p 整除 则整数 p 一定为(   )

A.奇数                B.质数              C.非偶数                D.合数

(6)在第3斜列中 前5个数依次为1、3、6、10、15;第4斜列中 第5个数为35.显然 1+3+6+10+15=35.事实上 一般地有这样的结论:

第 m 斜列中(从右上到左下)前 k 个数之和 一定等于第 m +1斜列中第 k 个数.

试用含有 m 、 k ( m 、 k ∈N*)的数学公式表示上述结论并证明其正确性.

数学公式为                     .

证明:                         .

Answer 1

(1) a _ij =     (2)2 ^k    (3)2 ^{n +1} -1   (4)11 ⁿ     (5)B      

(6)