证明：在任何6个人之间,或者有三个人互相认识,或者有三个人互不认识

Question

证明：在任何6个人之间,或者有三个人互相认识,或者有三个人互不认识

Answer 1

这是1947年匈牙利奥林匹克数学竞赛题的第二题.
可以将问题转化成简单图论的方法来解决：用平面上的6个点表示6个人,如果是互相认识的,就用实线连结起来,如果是互相不认识的,就用虚线连结起来.这样问题就转化成：
平面上的6个点,两点间用实线或虚线连结起来,至少存在一个实线三角形,或者至少存在一个虚线三角形.
考虑A、B、C、D、E、F这6个点.
现在将AB、AC、AD、AE、AF用实线连结起来（当然也可以用虚线连结起来）
再考虑BC、CD、BD间的连结情况：
一、如果BC、CD、BD间的连线都是虚线,那么△BCD就是虚线三角形.
二、如果BC、CD、BD间的连线不全是虚线,那么至少有一者是实线,无论哪一者为实线,必然
　　使△ABC、△ACD、△ABD中至少有一者是实线三角形.
综上一、二所述,A、B、C、D、E、F这6个点,无论用实线或虚线怎样连结,不是连结出实线三角形,就是连结出虚线三角形.
∴任何的6个人中,肯定能找出三个人,他们彼此都认识,或者彼此不认识.