如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图所示），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1

Question

如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC ₁ D ₁ 和△BC ₂ D ₂ 两个三角形（如图所示），将纸片△AC ₁ D ₁ 沿直线D ₂ B（AB）方向平移（点A，D ₁ ，D ₂ ，B始终在同一直线上），当点D ₁ 于点B重合时，停止平移，在平移过程中，C ₁ D ₁ 与BC ₂ 交于点E，AC ₁ 与C ₂ D ₂ 、BC ₂ 分别交于点F、P。

（1）当△AC ₁ D ₁ 平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D ₁ E与D ₂ F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D ₂ D ₁ 为x，△AC ₁ D ₁ 与△BC ₂ D ₂ 重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）
因为
所以
又因为
CD是斜边上的中线
所以
即
所以
所以
所以
同理
又因为
所以
所以 。
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10
即
又因为
所以
所以
在 中， 到 的距离就是 的 边上的高，为
设 的 边上的高为h，由探究，得
所以
所以

又因为
所以
又因为 ，
所以 ，
而
所以 。
（3）存在
当 时，即
整理，得
解得 。
即当 或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的 。