校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如

Question

校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

Answer 1

（1）其它组的频率为
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第4组的频率为0.2，
频率分布图如图：

（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x-85）×0.06=0.5，
解得x=(260)/(3)，
∴样本中位数的估计值为(260)/(3)，平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10=87.25；
（3）依题意良好的人数为40×0.4=16人，优秀的人数为40×0.6=24人
优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，
将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，
事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，
所以P（M）=(9)/(10)=0.9．