如图所示，一个足够长的斜面，AC部分的长度为4L，C点以下光滑，C点以上粗糙，B是AC的中点．一根原长为2L的轻弹簧下端固定在A点，上端放置一个长为L、质量为m的均匀木板PQ，木板静止时，

Question

如图所示，一个足够长的斜面，AC部分的长度为4L，C点以下光滑，C点以上粗糙，B是AC的中点．一根原长为2L的轻弹簧下端固定在A点，上端放置一个长为L、质量为m的均匀木板PQ，木板静止时，弹簧长度变为(7)/(4)L．已知斜面的倾角为θ，木板与斜面粗糙部分的动摩擦因数μ=2tanθ，木板受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．现将木板沿斜面缓慢下压，当弹簧长度变为L时，释放木板，发现木板的Q端刚好能到达C点；将木板截短后，再次将木板沿斜面缓慢下压，当弹簧长度变为L时，释放木板，求：

（1）弹簧的劲度系数；
（2）若木板被截掉一半，木板上端到达C点时的速度大小；
（3）至少要将木板截掉多少，木板被释放后能静止在斜面上？

Answer 1

（1）当木板静止时，对木板受力分析，由力的平衡有：
k(L)/(4)=mgsinθ
解得弹簧的劲度系数为：k=(4mgsinθ)/(L)
（2）木板从被释放至Q端到C点，设弹簧弹力做功为W，由动能定理有：
W-mg•2Lsinθ=0
木板被截掉一半后再被弹簧弹开，设木板上端到达C点时的速度为v，由动能定理有：
W-(1)/(2)mg•(5)/(2)Lsinθ=(1)/(2)•(m)/(2)v2
解以上两式得：v=√(3gLsinθ)
（3）木板剩下的越短，被弹簧弹开后越能静止在斜面上．
设木板长为x时被弹开后恰好可以静止在斜面上，此木板必然一部分在C点上方，一部分在C点下方．假设在C点上方的木板长度为a，则有：(x)/(L)mgsinθ=μ(a)/(L)mgcosθ    
解得：a=(x)/(2)
这表明，截掉后剩余木板有一半在C点以上就可静止在斜面上．剩余木板被弹开后直到静止的过程中，由动能定理有：
W-(x)/(L)mg（3L-(x)/(2)）sinθ-(1)/(2)•(x)/(2)•(m)/(L)μgcosθ•(x)/(2)=0
解得：x=(6-2√(7))L
即木板被截下的长度至少为：△x=L-x=（2√(7)-5）L
答：（1）弹簧的劲度系数是(4mgsinθ)/(L)；
（2）若木板被截掉一半，木板上端到达C点时的速度大小是√(3gLsinθ)；
（3）至少要将木板截掉（2√(7)-5）L，木板被释放后能静止在斜面上．