如图示，竖直平面内半圆形管道ADB固定在CD杆上，AB为直径，CD过圆心O且与AB垂直，半圆管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圆管道半径R=OB=0.2m，E点为圆管道BD中的一点，OE与CD夹角为θ=60

Question

如图示，竖直平面内半圆形管道ADB固定在CD杆上，AB为直径，CD过圆心O且与AB垂直，半圆管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圆管道半径R=OB=0.2m，E点为圆管道BD中的一点，OE与CD夹角为θ=60°，两个完全相同的可看作质点的小球，球直径略小于管道内径，小球质量m=0.1kg，g=10m/s²，求：
（1）如图甲所示，当圆管道绕CD杆匀速转动时，要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω应该多大？
（2）如图乙所示，圆管道保持静止，在圆管道D点处放置一静止小球，另一小球由静止开始从B端管口放入，该球经过D点时（未与另一小球相碰）对管道的压力？
（3）接（2）问，两球在D点相碰（碰撞时间极短）后粘在一起能运动到最高点F，OF与CD夹角为α=37⁰，求此过程中摩擦力所做的功？

Answer 1

（1）小球在E点时受重力和管道的弹力，其合力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
mgtanθ=mω²r
r=Rsinθ
联立解得：ω=10rad/s．
要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω=10rad/s．
（2）设小球运动到D点时速度为v₁，由机械能守恒定律可得：
(1)/(2)m

v

2 1

＝mgR
解得：v₁=2m/s
设小球受到管道的弹力为N₂，沿半径方向由牛顿第二定律可得：
(mv21)/(R)＝N2−mg
解得：N₂=3N
故根据牛顿第三定律，小球过D点时对管道的压力为：3N．
（3）设碰后瞬间两球的速度为v₂，根据动量守恒定律：
mv₁=2mv₂
解得：v₂=1m/s．
设摩擦力做功为w，由功能关系可得：
−2mgR(1−cosα)+W＝−(1)/(2)(2m)

v

2 2

解得：W=-0.02J．
故该过程中摩擦力所做功为：W=-0.02J．
答：（1）如图甲所示，当圆管道绕CD杆匀速转动时，要使小球稳定在管道中的E点，角速度ω应该为10rad/s；
（2）如图乙所示，圆管道保持静止，在圆管道D点处放置一静止小球，另一小球由静止开始从B端管口放入，该球经过D点时（未与另一小球相碰）对管道的压力为3N；
（3）接（2）问，两球在D点相碰（碰撞时间极短）后粘在一起能运动到最高点F，OF与CD夹角为α=37⁰，此过程中摩擦力所做的功为-0.02J．