某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n-1年销售收入an

Question

某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入．已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n-1年销售收入a _n 与a _n-1 万元满足关系式：a _n =a _n-1 + (500)/(2n) -100．
（1）设今年为第一年，求第n年的销售收入a _n ；
（2）依上述预测，该企业前几年的销售收入总和S _n 最大．

Answer 1

（1）题意可知 a n - a n-1 =(500)/(2n) -100 ．
a n-1 - a n-2 =(500)/(2n-1) -100 ．
…
a 3 - a 2 =(500)/(23) -100 ．
a 2 - a 1 =(500)/(22) -100 ．
a 1 =250=(500)/(2) ．
以上各式相加得：
a n =500((1)/(2) +(1)/(22) +…+(1)/(2n) )-100(n-1)
= 500•((1)/(2)(1-(1)/(2n)))/(1-(1)/(2)) -100n+100
= 500-(500)/(2n) -100(n-1)  
（2）要求销售收入总和S _n 的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和．
∵a _n = 500-(500)/(2n) -100(n-1) ．
要使a _n ≥0，
即使 500-(500)/(2n) -100(n-1) ≥0，
也就是使 (1)/(2n) +(n-1)/(5) ≤1．
令b _n = (1)/(2n) +(n-1)/(5) ，
则有b _n -b _n-1 = (1)/(2n) +(n-1)/(5) -(1)/(2n-1) -(n-2)/(5) = (1)/(5) -(1)/(2n) ．
显然，当n≥3时，b _n ＞b _n-1 ，
而b ₅ ＜1，b ₆ ＞1
∴a ₅ ＞0，a ₆ ＜0
∴该企业前5年的销售收入总和最大．