探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：（1）请就

Question

探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：∠A=∠D=∠BCE=90°，求证：△ABC∽△DCE；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点A（-2，1），点B在直线y=-2x+3上运动，若∠AOB=90°，求此时点B的坐标；
②如图③，过点A（-2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y=-2x+3于点C、D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵∠BCE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°．
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，
∴∠DCE=∠B．
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DCE；

（2） ①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H
∴△AGO∽△OHB，
∴(AG)/(OH)=(GO)/(BH)．
∵A（-2，1），
∴AG=1，GO=2．
∵点B在直线y=-2x+3上，
∴设点B的坐标为（x，-2x+3），
∴OH=x，BH=-2x+3，
∴(1)/(x)=(2)/(-2x+3)，
∴x=(3)/(4)，
∴-2x+3=(3)/(2)，
∴B（(3)/(4)，(3)/(2)）；
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，
∵A（-2，1），
∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为-2，
∴C（x，1），D（-2，y），
∴1=-2x+3，y=-2×（-2）+3，
∴x=1，y=7，
∴C（1，1），D（-2，7）．
设E（x，y），
∴DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，
由对称可知：DE=AD=6，CE=AC=3
∵∠M=∠N=∠DEC=90°，
∴△DME∽△ENC，
∴(DM)/(EN)=(ME)/(CN)=(DE)/(CE)，
∴

(x+2)/(y-1)=2

(7-y)/(x-1)=2

，
∴解得：

x=(14)/(5)

y=(17)/(5)

∴E（(14)/(5)，(17)/(5)）．