（2013•惠州三模）如图所示的轨道由半径为R的14光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成．小车的质量为M，紧靠台阶BC且上水平表面与B点等高．一质量为m的可视为质点

Question

（2013•惠州三模）如图所示的轨道由半径为R的(1)/(4)光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成．小车的质量为M，紧靠台阶BC且上水平表面与B点等高．一质量为m的可视为质点的滑块自圆弧顶端A点由静止下滑，滑过圆弧的最低点B之后滑到小车上．已知M=4m，小车的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，小车的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的，滑块与PQ之间表面的动摩擦因数为μ，Q点右侧表面是光滑的．求：
（1）滑块滑到B点的瞬间对圆弧轨道的压力大小．
（2）要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则小车上PQ之间的距离应在什么范围内？（滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内）

Answer 1

（1）设滑块滑到B点的速度大小为v，到B点时轨道对滑块的支持力为N，由机械能守恒定律有
mgR＝(1)/(2)mv2…①
滑块滑到B点时，由牛顿第二定律有：
N−mg＝m(v2)/(R)…②
联立①②式解得：N=3mg…③
根据牛顿第三定律，滑块在B点对轨道的压力大小为：N′=3mg
（2）滑块最终没有离开小车，滑块和小车必然具有共同的末速度设为u，滑块与小车组成的系统动量守恒，有mv=（M+m）u…④
若小车PQ之间的距离L足够大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由功能关系有μmgL＝(1)/(2)mv2−(1)/(2)(M+m)u2…⑤
联立①④⑤式解得：L＝(4R)/(5μ)…⑥
若小车PQ之间的距离L不是很大，则滑块必然挤压弹簧，由于Q点右侧是光滑的，滑块必然被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由功能关系有
2μmgL＝(1)/(2)mv2−(1)/(2)(M+m)u2…⑦
联立①④⑦式解得  L＝(2R)/(5μ)…⑧
综上所述并由⑥⑧式可知，要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有离开小车，PQ之间的距离L应满足的范围是：(2R)/(5μ)≤L＜(4R)/(5μ)…⑨
答：（1）滑块滑到B点的瞬间对圆弧轨道的压力大小3mg．
（2）PQ之间的距离L应满足的范围是 (2R)/(5μ)≤L＜(4R)/(5μ)．