某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格

Question

某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀， 授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ，他们考核所得的等级相互独立．
(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A、B、C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P( )＝1－(1－ )(1－ )(1－ )＝ .
(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.
P(ξ＝30)＝P( )＝(1－ )(1－ )(1－ )＝ ，
P(ξ＝40)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝ ，
P(ξ＝50)＝P(AB )＋P(A C)＋P( BC)＝ ，
P(ξ＝60)＝P(ABC)＝ .
所以ξ的分布列为

ξ	30	40	50	60
P

 
∴E(ξ)＝30× ＋40× ＋50× ＋60× ＝ .