（2010•江西）课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证：设旋转角∠A1AB1=α（α＜∠A1AA2），θ3、θ4、θ5、θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的

Question

（2010•江西）课题：两个重叠的正多形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证：
设旋转角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AA₂），θ₃、θ₄、θ₅、θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示解的度数：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；
（2）图1-图4中，连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想：
设正n边形AA₁A₂…A_n-1与正n边形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正边形AB₁B₂…B_n-1绕顶点A逆时针旋转α（0°＜α＜°）；
（3）设θ_n与上述“θ₃、θ₄、…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；
（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线AH垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由正三角形的性质得α+θ₃=60°，再由正方形的性质得θ₄=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线AH垂直且平分的线段A₂B₁，△AA₁A₂≌△AB₁B₂，推得A₂H=B₁H，则点H在线段A₂B₁的垂直平分线上；由AA₂=AB₁，则点A0在线段A₂B₁的垂直平分线上，从而得出直线AH垂直且平分的线段A₂B₁
（3）当n为奇数时，θ_n=-α；
当n为偶数时，θ_n=α
（4）多写几个总结规律：
当n为奇数时，直线AH垂直平分，
当n为偶数时，直线AH垂直平分
【解析】
（1）60°-α，α，36°-α
（2）存在．下面就所选图形的不同分别给出证明：
选图如，图中有直线AH垂直平分A₂B₁，证明如下：
方法一：
证明：∵△AA₁A₂与△AB₁B₂是全等的等边三角形
∴AA₂=AB₁
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，∴点H在线段A₂B₁的垂直平分线上
又∵AA₂=AB₁，∴点A0在线段A₂B₁的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A₂B₁
方法二：
证明：∵△AA₁A₂与△AB₁B₂是全等的等边三角形
∴AA₂=AB₂
∴∠AA₂B₁=∠AB₁A₂
又∠AA₂H=∠AB₁H=60°
∴∠HA₂B₁=∠HB₁A₂
∴A₂H=B₁H，
在△AA₂H与△AB₁H中
∵AA₂=AB₁，
HA₂=HB₁，∠A0A₂H=∠AB₁H
∴△AA₂H≌△AB₁H
∴∠AA₂H=∠B₁A₂H
∴AH是等腰三角形AA₂B₁的角平分线，
∴直线AH垂直平分A₂B₁选图如，图中有直线AH垂直平分A₂B₂，证明如下：
∵AB₂=AA₂∴∠AB₂A₂=∠AA₂B₂
又∵∠AB₂B₁=∠AA₂A₃
∴∠HB₂A₂=∠HA₂B₂
∴HB₂=HA₂
∴点H在线段A₂B₂的垂直平分线上
又∵AB₂=AA₂，∴点A在线段A₂B₂的垂直平分线上
∴直线AH垂直平分A₂B₂
（3）当n为奇数时，θ_n=-α；
当n为偶数时，θ_n=α．
（4）存在．
当n为奇数时，直线AH垂直平分，
当n为偶数时，直线AH垂直平分