设M是三角形ABC内的一点,且向量MA+2向量MB+3向量MC=0,若AB=3,AC=4,角BAC=60度,则向量AM与向量BC的数量积为

Question

设M是三角形ABC内的一点,且向量MA+2向量MB+3向量MC=0,若AB=3,AC=4,角BAC=60度,则向量AM与向量BC的数量积为

Answer 1

∵,|AB|=3,|AC|=4,角BAC=60度
∴向量AB●AC=3×4×1/2=6
向量MB=MA+AB,向量MC=MA+AC
∵向量MA+2向量MB+3向量MC=0向量
∴向量MA+2向量(MA+AB)+3向量(MA+AC)=0向量
∴6向量MA=-2AB-3AC
∴向量MA=-1/3AB-1/2AC 向量AM=1/3AB+1/2AC
∵BC=AC-AB
∴向量AM●向量BC
=(1/3AB+1/2AC)●(AC-AB）
=（1/3-1/2)AB●AC+1/2*|AC|²-1/3|AB|²
=-1/6*6+1/2*16-1/3*9
=4